La ecuación de Schrödinger

La Unesco declaró este año 2025 como el año de la Ciencia y Tecnología Cuánticas (AIQ). Y hay que adentrarse en ese universo mágico y maravilloso 🧐

La función de onda propuesta por Erwin Schrödinger que describe el estado instantáneo de un sistema cuántico y codifica la distribución de probabilidad de todas sus propiedades medibles, es:

La forma desarrollada:

$$i\mathrm{\hslash }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\mathrm{\Psi }(\mathbf{r},t)=-\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }(\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r})\mathrm{\Psi }(\mathbf{r},t)$$

La forma compacta, utilizando el operador Hamiltoniano $\hat{H}$:

$$i\mathrm{\hslash }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\mathrm{\Psi }(\mathbf{r},t)=\widehat{H}\mathrm{\Psi }(\mathbf{r},t)$$

donde:

• $\Psi(\mathbf{r},t)$: función de onda dependiente de la posición $\mathbf{r}$ y del tiempo $t$.

• $\hat{H}$: operador Hamiltoniano (energía total del sistema), definido como:

  $$\widehat{H}=-\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(\mathbf{r})$$

• $-\frac{\hbar^2}{2m}$: factor que surge al aplicar el formalismo cuántico a la energía cinética.

• $\hbar$: constante reducida de Planck.

• $m$: masa de la partícula.

• $\nabla^2$: operador Laplaciano, representa la segunda derivada espacial.

• $V(\mathbf{r})$: energía potencial en la posición $\mathbf{r}$.

Evolución temporal:

La evolución del estado está dada por un operador unitario $U(t)$. La presencia de $i$ (la unidad imaginaria) en la ecuación garantiza que la evolución temporal sea unitaria, es decir, que la probabilidad total se conserve:

$$U(t)=e^{-\frac{i}{\mathrm{\hslash }}\widehat{H}t}$$

La presencia de i en el exponente asegura que U† U = I, condición necesaria para que las probabilidades sigan sumando 1.

Sin i, la función de onda crecería o decaería de forma no física (no conservaría la norma).

Experimento de la doble rendija: Función de onda en el espacio.

Conservación de la probabilidad

La probabilidad total de encontrar la partícula en algún lugar se calcula como:

$$P = \int |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 \, d^3r$$

Esta probabilidad debe ser siempre igual a 1.

En mecánica cuántica, la norma al cuadrado o módulo cuadrado de la función de onda,
$|\Psi(\mathbf{r},t)|^2$, se interpreta como la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en una posición $\mathbf{r}$ en el tiempo $t$.

Densidad de probabilidad:

$|\Psi(\mathbf{r},t)|^2$ indica cuán probable es hallar la partícula en un pequeño volumen alrededor de $\mathbf{r}$.

El factor $i$ en la ecuación de Schrödinger garantiza que la evolución temporal de $\Psi$ sea unitaria: en lugar de crecer o decaer exponencialmente, su fase rota en el espacio complejo, preservando la norma $|\Psi|^2$.

Si no hubiera un $i$, la ecuación produciría términos del tipo:

$$e^{\pm \gamma t}$$

que crecen o disminuyen con el tiempo, destruyendo la conservación de probabilidad. Con $i$, en cambio, las soluciones son oscilatorias del tipo:

$$\mathrm{\Psi }(\mathbf{r},t)\sim e^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)}$$

lo cual corresponde a una onda estable y coherente.

Notación de estados de Dirac

La misma ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se puede escribir en notación de estado abstracto (bra-ket) como:

$$\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\mathrm{\mid }\mathrm{\Psi }(t)⟩=-\frac{i}{\mathrm{\hslash }}\widehat{H}\mathrm{\mid }\mathrm{\Psi }(t)⟩$$

Si multiplicamos ambos lados por $i\hbar$, recuperamos la forma más común:

$$i\mathrm{\hslash }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\mathrm{\mid }\mathrm{\Psi }(t)⟩=\widehat{H}\mathrm{\mid }\mathrm{\Psi }(t)⟩$$

Ambas expresiones son equivalentes: la diferencia está en que una despeja la derivada a la izquierda y usa la notación abstracta $|\Psi\rangle$ en lugar de la función de onda $\Psi(\mathbf{r},t)$.

Interpretación:

• La forma $i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$es usual en libros introductorios, donde se trabaja explícitamente con funciones de onda dependientes de la posición y el tiempo.

• La forma $-\frac{i}{\hbar}$ es más común en contextos abstractos, algebraicos y de computación cuántica.

• En ambos casos, el signo y el factor $i$ son fundamentales: garantizan la conservación de la probabilidad y que la evolución temporal sea unitaria.