¿Respecto a qué gira lo que gira? En Sagnac

Segunda entrada de la serie sobre el efecto Sagnac. En la primera quedó una pregunta abierta: si un aparato cerrado puede sentir que gira, ¿respecto a qué gira? Aquí la planteo con rigor, del cubo de Newton al experimento GINGER, con las cuentas a la vista. No la resuelvo. Nadie lo ha hecho.

El problema, en una frase

Un interferómetro de Sagnac mide su propia rotación sin mirar hacia afuera. Pero "rotación" es una palabra relativa: algo gira respecto a algo. ¿Respecto a qué, entonces, mide el Sagnac? Esa es la pregunta. Tiene nombre propio, problema de Mach, y lleva abierta desde 1883. Lo que sigue es un intento de decir con exactitud qué sabemos, qué medimos y dónde termina lo sabido.

1. El cubo de Newton (1687)

Newton lo planteó en el escolio de los Principia. Cuelga un cubo de agua de una cuerda retorcida y suéltalo. Al principio el cubo gira y el agua no: la superficie está plana. Poco a poco el agua se pone a girar con el cubo, y su superficie se vuelve cóncava. Al final, agua y cubo giran juntos, en reposo uno respecto al otro, y la superficie sigue cóncava.

Figura 1. El cubo de Newton. La forma del agua no depende de su movimiento respecto al cubo. Newton concluyó que depende de su movimiento respecto al espacio absoluto.

La conclusión de Newton: la concavidad no se explica por el movimiento del agua respecto al cubo (que es nulo en el caso final) sino por su rotación respecto al espacio absoluto. El Sagnac es el cubo de Newton hecho con luz: tampoco necesita mirar afuera.

2. La objeción de Mach (1883)

Ernst Mach respondió que el espacio absoluto es una ficción inobservable. Lo único que sabemos es que el agua se curva cuando gira respecto a las estrellas fijas, es decir, respecto al resto de la materia del universo. Nadie ha hecho el experimento, decía Mach, de dejar el cubo quieto y poner a girar al universo entero alrededor; si la física es relacional, el agua debería curvarse igual. Einstein tomó esta idea en serio, la bautizó "principio de Mach" en 1918 y la usó como guía para construir la relatividad general.

Formulemos el problema en los términos que importan para un Sagnac:

1. Respuesta operativa. El Sagnac mide rotación respecto al sistema inercial local: el marco de referencia en el que una partícula libre se mueve en línea recta y en el que el interferómetro da desfase cero. Esto es una definición, no una explicación.
2. Hecho empírico. Ese marco local coincide, hasta donde se ha podido medir, con el marco en el que las galaxias lejanas no rotan. Que coincidan no es obvio: son dos cosas definidas por procedimientos distintos, una con luz dentro de una caja y otra mirando el cielo.
3. La pregunta de Mach. ¿Esa coincidencia es una ley (la materia lejana determina el marco inercial local) o una casualidad de condiciones iniciales?

3. Lo que dice la relatividad general: el marco inercial es la métrica

En relatividad general no hay espacio absoluto ni estrellas fijas como referencia última. Hay un campo, la métrica g_μν, que determina en cada punto qué trayectorias son "rectas" (geodésicas) y, por tanto, qué significa no rotar. El Sagnac mide rotación respecto a ese campo. Y la formulación general del efecto Sagnac en un espacio-tiempo estacionario tiene una forma compacta (Ashtekar y Magnon, 1975): la diferencia de tiempo entre los dos haces que recorren un lazo cerrado es

Δt = −(2/c) ∮ (g_0i / g₀₀) dxⁱ

Todo lo que hace la gravedad o la rotación al efecto Sagnac está en las componentes g_0i, las que mezclan tiempo y espacio. Vamos a usar esta fórmula dos veces.

3a. Primera aplicación: recuperar el Sagnac clásico

En un marco que gira con velocidad angular Ω en el espacio plano, con g₀₀ ≈ −1 y a bajas velocidades, las componentes mixtas son g_0i = −(Ω × r)_i / c. Sustituyendo:

Δt = (2/c²) ∮ (Ω × r) · dl = (2/c²) ∬ ∇ × (Ω × r) · dS = (2/c²) · 2Ω · A = 4 Ω · A / c²

que es la fórmula de Sagnac de la entrada anterior, obtenida ahora como caso particular de una expresión relativista general. (Se usó el teorema de Stokes y la identidad ∇ × (Ω × r) = 2Ω.)

3b. Segunda aplicación: una masa que gira arrastra el marco

Aquí está la novedad respecto a Newton. Las ecuaciones de Einstein, linealizadas para campo débil, dicen que un cuerpo de momento angular J produce también componentes mixtas en la métrica, análogas al potencial vector de un dipolo magnético:

g_0i = −(2G / c³) (J × r)_i / r³

Esto se llama gravitomagnetismo: la masa en movimiento genera un campo que actúa sobre otras masas en movimiento como el campo magnético actúa sobre cargas en movimiento. Metemos esta g_0i en la fórmula de Ashtekar-Magnon y aplicamos Stokes igual que antes:

Δt_LT = (4G / c⁴) ∮ (J × r) / r³ · dl = (4G / c⁴) ∬ [3(J · r̂)r̂ − J] / r³ · dS

(la identidad ∇ × (J × r / r³) = [3(J · r̂)r̂ − J] / r³ es exactamente la del campo de un dipolo magnético). Para un lazo pequeño de área A el resultado tiene la misma forma que el Sagnac clásico:

Δt_LT = 4 Ω_LT · A / c²,    con    Ω_LT = (G / c²r³) [3(J · r̂)r̂ − J]

Léase con cuidado lo que dice esta ecuación. Un Sagnac en reposo respecto a las estrellas, colocado cerca de una masa que gira, no da cero. Da lo que daría si girase con velocidad angular Ω_LT. Dicho al revés: el marco inercial local, aquel en el que el Sagnac da cero, está girando respecto a las estrellas, arrastrado por la masa. Es el efecto Lense-Thirring (1918). La materia cercana contribuye a definir qué es "no rotar". Mach tenía parte de razón, y la relatividad general lo cuantifica.

Figura 2. Efecto Lense-Thirring. Las líneas grises son el campo gravitomagnético de la Tierra, con la forma de un dipolo. Las flechas naranjas indican cómo gira el marco inercial local respecto a las estrellas: en el polo, en el sentido de la Tierra; en el ecuador, en sentido contrario y con la mitad de magnitud.

3c. Los números para la Tierra

Con J_⊕ = I_⊕Ω_⊕ = 5,86 × 10³³ kg·m²/s y R = 6371 km:

• Ecuador: Ω_LT = GJ/c²R³ = 1,68 × 10⁻¹⁴ rad/s = 3,5 × 10⁻⁹ °/h, es decir, 2,3 × 10⁻¹⁰ de Ω_⊕.
• Polo: el doble, 3,36 × 10⁻¹⁴ rad/s = 6,9 × 10⁻⁹ °/h, o 4,6 × 10⁻¹⁰ de Ω_⊕.

Hay además un segundo término relativista, el geodésico o de De Sitter, que aparece porque el observador se mueve dentro del campo gravitatorio de la Tierra (no por la rotación de ésta). Su magnitud es del orden de (GM/c²R) Ω_⊕ ≈ 7 × 10⁻¹⁰ Ω_⊕ ≈ 10⁻⁸ °/h, algo mayor que el Lense-Thirring y con dirección meridional (la expresión exacta para un anillo láser en tierra está en Bosi et al., 2011). Lo que mide un anillo láser fijo al suelo es, por tanto,

Ω_medida = Ω_⊕ − Ω_geodésico − Ω_LT

y los dos términos correctivos suman alrededor de una parte en 10⁹ de la rotación terrestre.

4. Gödel (1949): un universo que gira respecto a sí mismo

Hasta aquí la relatividad general parece darle la razón a Mach: la materia moldea el marco inercial. Pero la teoría tiene soluciones que a Mach no le habrían gustado nada, y la más célebre la encontró Kurt Gödel, el lógico, como regalo para el 70.º cumpleaños de Einstein.

El universo de Gödel es una solución exacta de las ecuaciones de Einstein llena de polvo de densidad ρ, con constante cosmológica negativa, en la que toda la materia rota con velocidad angular

ω = (4πGρ)^1/2,    Λ = −ω²/c²    (en la normalización original de Gödel)

Para una densidad del orden de la del universo real, ρ ≈ 10⁻²⁶ kg/m³, eso da ω ≈ 3 × 10⁻¹⁸ rad/s, una vuelta cada 70 000 millones de años aproximadamente (número ilustrativo: el universo de Gödel no se expande, así que no es un modelo del nuestro). La pregunta obligada es: ¿respecto a qué gira el universo de Gödel, si no hay nada fuera de él? La respuesta de la teoría es: respecto a los marcos inerciales locales, es decir, respecto a su propio campo métrico. Un Sagnac en reposo respecto a la materia de ese universo daría una lectura distinta de cero en todas partes. La materia no determina el marco inercial; el marco inercial es anterior.

Gödel probó además que en su universo hay curvas temporales cerradas (se puede viajar al propio pasado), lo que lo hace físicamente sospechoso. Pero el punto para nosotros no es si ese universo existe, sino que la relatividad general lo permite. Y hay un caso más simple todavía: el espacio-tiempo de Minkowski, vacío, sin materia alguna, tiene estructura inercial perfectamente definida. Ahí un Sagnac distingue rotación de no rotación sin que haya una sola estrella. Newton vuelve a entrar por la puerta de atrás.

¿Y el universo real? Si girase como el de Gödel, el fondo cósmico de microondas mostraría un patrón característico. No lo muestra: las cotas más recientes (Planck, 2016) limitan cualquier vorticidad cósmica a menos de una parte en 10¹⁰ de la tasa de expansión de Hubble. Nuestro universo, hasta donde se ve, no rota respecto a sus marcos inerciales. Pero eso es un hecho observado, no una consecuencia de la teoría.

5. Lo que se ha medido

El arrastre de marcos dejó de ser una predicción en la década pasada.

• Gravity Probe B (NASA-Stanford, resultados en 2011): cuatro giroscopios de cuarzo superconductor en órbita polar a 642 km, apuntados a la estrella IM Pegasi durante un año. Predicción relativista: precesión geodésica de 6606,1 milisegundos de arco por año y arrastre de marcos de 39,2 mas/año. Medido: 6601,8 ± 18,3 y 37,2 ± 7,2 mas/año. El arrastre quedó confirmado al 19 %.
• LAGEOS y LARES (Ciufolini y colaboradores, 2004-2019): seguimiento láser de la precesión de los nodos orbitales de satélites pasivos. Confirman el Lense-Thirring con incertidumbres de entre el 10 % y pocos por ciento, según el análisis.

Ambos experimentos miden desde el espacio. Lo que no se ha hecho todavía es medir el arrastre de marcos desde el suelo, con un efecto Sagnac. Y ahí entran los anillos láser.

5a. Del anillo G a GINGER

El anillo láser G de Wettzell (Alemania) es un cuadrado de 4 m de lado tallado en un bloque de vitrocerámica, enterrado para aislarlo térmicamente. Con A = 16 m², perímetro 16 m, λ = 632,8 nm y latitud 49,1°, la fórmula del láser de anillo, Δf = (4A/λP) Ω_⊕ sen φ, predice un batido de 348,6 Hz; el valor medido es 348,5 Hz. Su estabilidad permite ver el movimiento del polo, las mareas terrestres y los terremotos lejanos. Pero la corrección Lense-Thirring sobre esos 348,5 Hz es de unos 10⁻⁷ Hz, todavía por debajo de su alcance.

GINGER (Gyroscopes IN GEneral Relativity), en el Laboratorio Nacional del Gran Sasso, en Italia, a 1400 m bajo la montaña, es el proyecto diseñado para cruzar esa frontera: varios anillos láser de unos 3,6 m de lado, orientados en distintas direcciones, con la meta de medir la rotación terrestre con una precisión de una parte en 10⁹ o mejor, suficiente para separar los términos relativistas. Su prototipo, GINGERINO, funciona desde 2015.

Y aquí está lo que más me gusta de todo este asunto. GINGER no puede, por sí solo, distinguir Ω_⊕ de Ω_⊕ − Ω_LT: ambas son "la rotación" que siente. Para separarlas necesita un valor independiente de Ω_⊕, y ese valor lo da la interferometría de muy larga base (VLBI), que mide la rotación de la Tierra respecto a los cuásares más lejanos. Es decir: el experimento compara la rotación respecto al marco inercial local (Sagnac) con la rotación respecto a la materia más lejana del universo (VLBI), y busca la diferencia. Esa diferencia es, literalmente, la pregunta de Mach puesta en números. Si sale lo que predice Einstein, una parte en 10⁹, la relatividad general queda confirmada en su aspecto más machiano. Si sale otra cosa, tendremos física nueva.

6. Los números en fila

Figura 3. Las velocidades de rotación de esta serie, en una sola escala. El chip de 2026 mide 37 °/h; para sentir cómo la materia define el marco inercial hace falta llegar a una milmillonésima de grado por hora.

Magnitud	rad/s	°/h
Giroscopio Brillouin en chip (2026)	1,8 × 10−4	37
Rotación sidérea de la Tierra	7,29 × 10−5	15,04
Componente vertical en Cumaná (10,5° N)	1,32 × 10−5	2,73
Meta de GINGER (1 parte en 109 de Ω⊕)	7 × 10−14	1,5 × 10−8
Término geodésico en la superficie (orden)	5 × 10−14	10−8
Lense-Thirring en el polo	3,4 × 10−14	6,9 × 10−9
Lense-Thirring en el ecuador	1,7 × 10−14	3,5 × 10−9
Universo de Gödel con ρ ≈ ρcrít (ilustrativo)	3 × 10−18	6 × 10−13

7. Dónde termina lo sabido

Resumo lo que se puede afirmar con respaldo y lo que no.

1. Operativamente, lo que gira, gira respecto al marco inercial local, que en relatividad general es una propiedad del campo métrico g_μν. El Sagnac mide eso y nada más.
2. Ese marco no es independiente de la materia. La materia en rotación lo arrastra (Lense-Thirring), y esto está medido en órbita con un 19 % de precisión y pronto, quizá, desde el suelo con un Sagnac.
3. Pero tampoco está determinado por la materia. El vacío de Minkowski y el universo de Gödel muestran que la relatividad general admite estructura inercial sin materia, o materia que rota respecto a la estructura inercial. El marco local depende también de condiciones de contorno y de ondas gravitacionales que no provienen de ninguna masa en particular.

La formulación más precisa disponible es, entonces: lo que gira, gira respecto al campo gravitatorio local, que es un objeto físico, dinámico, moldeado en parte por toda la materia del universo, pero no reducible a ella. Einstein, que había construido la teoría guiado por Mach, terminó reconociéndolo: en 1954 escribió que ya no se debería hablar del principio de Mach en absoluto. Hubo intentos posteriores de hacer la física completamente relacional (Sciama en 1953, Brans y Dicke en 1961, Barbour y Bertotti en 1982, la shape dynamics actual), y ninguno ha desplazado a la relatividad general. La pregunta de Mach sigue siendo una pregunta.

8. Una confesión, con testigo

Mientras preparaba esta entrada hice algo que hace diez años no habría podido hacer. Le planteé la pregunta a Claude, uno de los modelos de inteligencia artificial más capaces que existen hoy, desarrollado por Anthropic, y le pedí que con todos sus recursos buscara una solución teórica. Su respuesta empezó así, y la copio textualmente porque la hago mía:

"No, no puedo resolver esa pregunta, y desconfiaría de cualquiera, humano o máquina, que diga que lo hizo."

Lo que sí hizo fue ordenar la cadena de argumentos que acaban de leer, derivar el término Lense-Thirring en el desfase de Sagnac a partir de la fórmula general, y verificar cada número de esta entrada con un cálculo explícito contra valores publicados: la frecuencia del anillo G de Wettzell salió en 348,6 Hz frente a los 348,5 medidos, y el arrastre de marcos de Gravity Probe B en el orden correcto. El guion de verificación está disponible para quien quiera repetirlo.

Quiero que esa frase quede escrita aquí por dos razones. La primera es que la honestidad de una máquina ante una pregunta de frontera me pareció más valiosa que cualquier respuesta ingeniosa que pudiera haber inventado, y conviene recordarlo en tiempos en que se le pide a la inteligencia artificial que lo sepa todo. La segunda es que esa frase describe con exactitud el estado de la ciencia en este punto. Sabemos medir la rotación con una precisión asombrosa. Sabemos que la materia tuerce el marco respecto al cual se mide. No sabemos, en el fondo, por qué ese marco existe ni qué lo fija del todo. Eso no es un fracaso. Es la forma que tiene una pregunta bien planteada de seguir viva ciento cuarenta años después de Mach, y la razón de que valga la pena construir, en una montaña de Italia o algún día en un chip, un anillo de luz lo bastante fino para escucharla.

Referencias

1. I. Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), escolio a las definiciones.
2. E. Mach, Die Mechanik in ihrer Entwickelung (1883), cap. II, §6.
3. A. Einstein, "Prinzipielles zur allgemeinen Relativitätstheorie", Ann. Phys. 55, 241 (1918). Primera formulación del "principio de Mach".
4. J. Lense y H. Thirring, Phys. Z. 19, 156 (1918).
5. K. Gödel, "An example of a new type of cosmological solutions of Einstein's field equations of gravitation", Rev. Mod. Phys. 21, 447 (1949).
6. D. W. Sciama, "On the origin of inertia", Mon. Not. R. Astron. Soc. 113, 34 (1953).
7. C. Brans y R. H. Dicke, Phys. Rev. 124, 925 (1961).
8. E. J. Post, "Sagnac effect", Rev. Mod. Phys. 39, 475 (1967).
9. A. Ashtekar y A. Magnon, "The Sagnac effect in general relativity", J. Math. Phys. 16, 341 (1975).
10. J. B. Barbour y B. Bertotti, "Mach's principle and the structure of dynamical theories", Proc. R. Soc. A 382, 295 (1982).
11. I. Ciufolini y J. A. Wheeler, Gravitation and Inertia (Princeton, 1995).
12. G. E. Stedman, "Ring-laser tests of fundamental physics and geophysics", Rep. Prog. Phys. 60, 615 (1997).
13. N. Ashby, "Relativity in the Global Positioning System", Living Rev. Relativ. 6, 1 (2003).
14. G. Rizzi y M. L. Ruggiero (eds.), Relativity in Rotating Frames (Kluwer, 2004).
15. I. Ciufolini y E. C. Pavlis, "A confirmation of the general relativistic prediction of the Lense-Thirring effect", Nature 431, 958 (2004).
16. C. W. F. Everitt et al., "Gravity Probe B: Final results of a space experiment to test general relativity", Phys. Rev. Lett. 106, 221101 (2011).
17. F. Bosi et al., "Measuring gravitomagnetic effects by a multi-ring-laser gyroscope", Phys. Rev. D 84, 122002 (2011). Propuesta de GINGER.
18. K. U. Schreiber y J.-P. R. Wells, "Large ring lasers for rotation sensing", Rev. Sci. Instrum. 84, 041101 (2013).
19. D. Saadeh et al., "How isotropic is the Universe?", Phys. Rev. Lett. 117, 131302 (2016). Cotas a la rotación cósmica con Planck.
20. A. Di Virgilio et al., "Underground Sagnac gyroscope with sub-prad/s rotation rate sensitivity: toward general relativity tests on Earth", Phys. Rev. Research 2, 032069 (2020). GINGERINO.

Entrada anterior de la serie: "De Sagnac al chip". Próxima: qué sensibilidad haría falta para un girocompás óptico en la latitud de Cumaná y qué se puede construir con los medios disponibles.